$$N_n = Ae^{-E_n/{kT}}$$
(Donde A es una constante a determinar), demuestre que la condición:
$$N = \sum_{n=0}^{\infty}{N_n}$$
da como resultado:
$$A = N(1-e^{\varepsilon/{kT}})$$
(b) De la ecuación del valor esperado derive la expresión para la energía promedio:
$$\bar{E} = \frac{\varepsilon}{e^{\varepsilon/{kT}} - 1}$$
(c) Demuestre que la energía promedio tiene a kT cuanto las longitudes de onda son muy grandes, además, pruebe que esat energía promedio tiende a cero cuando sus longitudes de onda son muy pequeñas.
SOLUCIÓN:
(a) Teniendo entonces la distribución de probabilidad entonces sea E_n = nε donde ε = hf y sea a = 1/kT, normalicemos la función de probabilidad de la energía:
$$N_{n}=A e^{-a E_{n}} \rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} E_{n}=A \sum_{n=0}^{\infty} e^{-a E_{n}}=1$$
Al remplazar el valor de E podemos notar que tenemos una serie geométrica:
$$=A \sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-a \varepsilon}\right)^{n}=N \rightarrow \frac{A}{1-e^{-a \varepsilon_{0}}}=N$$
$$A=N(1-e^{-a\varepsilon})= N(1-e^{-\varepsilon/kT})$$
(b) Para hallar la energía promedio simplemente usamos la definición de valor esperado, además, fíjese en los términos adentro de la suma y como pueden ser escritos en términos de una derivada parcial:
$$\bar{E}=A\sum_{n=0}^{\infty} E _n e^{-a E_n}=A \sum_{n=0}^{\infty}-\frac{\partial}{\partial a} e^{-a E_n}=-A \frac{\partial}{\partial a} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-a E_{n}}$$
Nuevamente aparece la serie geométrica:
$$\bar{E} = -A \frac{\partial}{\partial a} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-a n\varepsilon} = -A \frac{\partial}{\partial a} \sum_{n=0}^{\infty} \left(e^{-a \varepsilon}\right)^n = \bar{E}=-A\frac{\partial}{\partial a} \left(\frac{1}{1-e^{-a \varepsilon}}\right)$$
$$ \bar{E}=A\left(1-e^{-a\varepsilon}\right)^{-2} e^{-a \varepsilon} {\varepsilon} = \frac{N(1-e^{-a \varepsilon})e^{-a \varepsilon}\varepsilon}{(1-e^{-a \varepsilon})^2} $$
$$\bar{E}=N\frac{\varepsilon e^{-a \varepsilon}}{1-e^{-a \varepsilon}} \cdot \frac{e^{a \varepsilon}}{e^{a \varepsilon}}$$
$$\bar{E}=N\frac{\varepsilon}{e^{\varepsilon/kT}-1}$$
Esta ultima es la energía promedio para N osciladores, basta ignorar el termino N para tener la energía promedio por oscilador.
(c) Sabemos que ε = hf = hc/λ, tenemos entonces para longitudes de ondas grandes:
$$\bar{E} = {lim}_{\lambda \rightarrow \infty} \frac{hc/ \lambda}{e^{ahc/ \lambda}-1} = \frac{0}{0}$$
Aplicamos l'hopital y volvemos a evaluar:
$$\bar{E} = {lim}_{\lambda \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{-hc}{\lambda^2}}{\dfrac{-ahc}{\lambda^2}e^{ahc/ \lambda}} = \frac{1}{ae^{ahc/ \infty}} = \frac{1}{a} = kT$$
Esto es importante pues sabemos entonces que para longitudes de onda muy grandes la energía promedio no va a infinito si no que queda acotada en un valor que solo va a depender de la temperatura del cuerpo.
Finalmente para longitudes de onda pequeñas, ósea, que tiendan a cero tenemos:
$$\bar{E} = {lim}_{\lambda \rightarrow 0} \frac{hc/ \lambda}{e^{ahc/ \lambda}-1} = \frac{\infty}{\infty}$$
Aplicamos l'hopital y volvemos a evaluar:
$$\bar{E} = {lim}_{\lambda \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{-hc}{\lambda^2}}{\dfrac{-ahc}{\lambda^2}e^{ahc/ \lambda}} = \frac{1}{ae^{ahc/ 0}} = 0$$
