Oscilador armónico cuántico

Solución

a.
$\phi=A_{1} e^{a x^{2}}+A_{2} e^{-a x^{2}}$

$\phi$ Debe ser finita, por lo tanto:
$x \rightarrow \infty, \phi \rightarrow c \Rightarrow A_{1}=0$
$\psi \equiv A_{2}e^{-a x^{2}}$

Solucionamos esta ecuación:
$\frac{-\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+\frac{1}{L} m \omega^{2} x^{2} \psi=E \psi$
$s \equiv \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x: E=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{p^{2}}{2 m}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}$
$k^{2}=\frac{2 m E}{\hbar^{2}}=\frac{2 m \hbar \omega}{\hbar^{2}}, k=\sqrt{\frac{2 m \omega}{\hbar^{2}}} \approx \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}$
$x=\sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}} \xi$
$x^{2}=\frac{\hbar}{m \omega} \xi^{2} \quad x^{2}=\frac{\hbar}{m \omega} \xi^{2} d x^{2}=\frac{\hbar}{m \omega} d \xi^{2}$
$\frac{-\hbar}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial \xi^{2}} \cdot \frac{m \omega}{\hbar}+\frac{1}{2} m \omega^{2} \frac{\hbar}{m \omega} \xi^{2} \psi=E \psi \\ \frac{-\hbar \omega}{2} \frac{\partial^{2} \psi}{d \xi^{2}}+\frac{\hbar \omega}{2} \xi^{2} \psi=E \psi$

Multiplicamos por $\frac{-2}{\hbar w}$

$\frac{-\hbar \omega}{2} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial \xi^{2}}+\frac{h \omega}{2} \xi^{2} \psi=E \psi$
$\frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}}+\xi^{2} \psi=\frac{-2 E}{\hbar \cdot w} \psi$

$K^{\prime}=\frac{E}{\frac{1}{2} \hbar \omega}=\frac{2 E}{\hbar \omega}$
$\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \xi^{2}}-\xi^{2} \psi=-k^{2} \psi$
$\Rightarrow \frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}}=\left(\xi^{2}-k^{\prime}\right) \psi$ (1)
$\xi^{2} \gg k, \xi^{2}>k$.
$\frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}}=\xi^{2} \psi$
$\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \xi^{2}}-\xi^{2} \psi=0$
$\psi=A e^{+\xi^{2} / 2}+B e^{-\xi^{2} / 2}$

Si $\psi \rightarrow 0 ; \xi \rightarrow \infty$
$\psi(\xi)=A e^{-\xi^{2} / 2}$
$A=h(\xi)$
$\psi(\xi)=h(\xi) e^{-\xi^{2} / 2}$

Por condición de normalización tenemos entonces $\boxed{a=\frac{1}{2}}$

Por lo tanto
$\phi=A_{2} e^{-a x^{2}}$
$x^{2}=\frac{\hbar}{m \omega} \xi^{\frac{1}{2}}$
$x^{2}=\frac{\hbar \xi^{2}}{m \omega} \quad \quad \xi^{2}=\frac{x^{2} m \omega}{\hbar}$
$\phi=A_{2} e^{-\frac{x^{2}}{2} \frac{m \omega}{\hbar}}$
$a=\frac{m \omega}{2 \hbar}$


Objetivo 2: hallar la constante $A$ :
Ahora sabemos que el módulo cuadrado de la función de onda debe estar normalizado. Por lo tanto se debe obtener:
$\phi=A_{2} e^{-a x^{2}} \quad a=\frac{m \omega}{2 \hbar}$
$\int_{-\infty}^{\infty} \phi^{*}(x) \phi(x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} A_{2} e^{-a x^{2}} \cdot A_{2} e^{-a x^{2}}=A_{2}^{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 a x^{2}} \cdot d x$

Veamos la integral

$e^{-2 a x^{2}} dx=\sqrt{\frac{\pi}{2 a}}$

$A_{2}^{2} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2 a}}=1 \quad A_{2}^{2}=\sqrt{\frac{2 a}{\pi}}$
$A_{2}=\sqrt[4]{\frac{2 a}{\pi}}$ Condición de normalización


Con esto hallamos entonces el valor de la energía:
$E=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}$

Hallando las derivadas y reemplazando en la ecuación:

$\phi=A_{2} e^{-a x^{2}}$
$\dot \phi=-2 a x A_{2} e^{-a x^{2}} \quad \omega^{2}=\frac{k}{m}$
$\dot{\dot{\phi}}=4 a^{2} x^{2} A_{2} e^{-a x^{2}}$
$\dot{\dot{\phi}}=4 a x^{2} \phi(x)$

$\frac{-\hbar^{2}}{2 m} 4 a x^{2} \phi(x)+\frac{1}{2} k x^{2} \phi=E \phi$
$4 \frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{4 m \omega}{2 \hbar}+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}=E$

$=\hbar \omega x^{2}+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}=E$
$x^{2}\left(-\hbar \omega+\frac{1}{2} m \omega^{2}\right)=E$
$x^{2}\left(\frac{-2 \hbar \omega+m \omega^{2}}{2}\right)=E \quad \quad$ Energía en términos de $x$.

Recuerde además que

$x^{2}=\frac{\hbar}{m\omega} \xi^{2}$

$E=\frac{\hbar}{m \omega} \xi^{2}\left(\frac{-2 \hbar \omega+m \omega^{2}}{2}\right)$

b.
$\phi=B_{1} e^{-b x^{2}}+B_{2} x e^{-b x^{2}}$

Hallar las castantos $B_i$ para que el sistema sea soluble

Si $B_1=0$

$b=$ Hallada para caso 1 $b=\frac{m\omega}{2 \hbar}$

Si $B_2=0$

$\int \phi^{*}\phi dx = \int B_2^2 e^{-2b^2x^2}x^2 \quad \Rightarrow \quad B_2 = \sqrt{ \frac{8b^3}{\pi}}$

05:51 PM

Juan pablo montoya Santiago Ramirez