Ejercicio: estimacion de la energia minima de un osc.arm.unidim.simple de una particula bajo la accion de una fuerza restauradora lineal

 7. Un oscilador armonico unidimensional simple es una particula sobre la que actua una fuerza restauradora lineal $F(x) = −mω^2x$. Clasicamente, la energia minima del oscilador es cero, porque podemos colocarlo precisamente en $x = 0$, su posicion de equilibrio, mientras le damos una velocidad inicial cero. Cuanticamente, el principio de incertidumbre no nos permite localizar la particula con precision y simultaneamente tenerla en reposo. Usando el principio de incertidumbre, estime la energia minima del oscilador.

Solucion:

Por el enunciado, consideremos el principio de incertidumbre. El cual dicta (nos dice):

$$\Delta P \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$

$$\Leftrightarrow \Delta P \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x}$$

Ahora, consideremos de expresion de la energia del sistema como:

$$E = E_k+E_p$$

$$\Leftrightarrow E = \frac{P}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$$  (al integrar y multiplicar por -1 la fuerza lineal del enunciado sale $E_p$ y al considerar P=mv)

De esta manera, cocluimos:

$$\frac{\Delta P^2}{2m} \geq \frac{\hbar^2}{2^2 2m}$$

$$\Leftrightarrow \frac{\Delta P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2 \geq \frac{\hbar^2}{8m \Delta x^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

$$\Leftrightarrow E \geq \frac{\hbar^2}{8m \Delta x^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

Por lo que podriamos decir que:

$$E_{min} = \frac{\hbar^2}{8m \Delta x^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$$