Taller: Fundamentos de mecánica cuántica.: Ejercicio 17

Muestre que un potencial atractivo sumamente angosto y profundo que puede representarse como una delta, $V (x) \approx \frac{- δ (x)}{a}$ , contiene un solo estado ligado, y calcule el correspondiente autovalor de energía. Sugerencia: Resuelva la ecuación de Schrödinger para $x \neq 0$ y tome en cuenta que $ψ^{'}$ no es continua en $x = 0$ .

Solución

Comencemos con la ecuación de Schrödinger:

$\frac{- ℏ^{2}}{2 m} ψ^{″} - \frac{δ (x)}{a} ψ = E ψ$ para $E < 0$

Si $x \neq 0$ entonces $ψ (x) = A e^{k x} + B e^{- k x}$ con $k = \sqrt{\frac{2 m E}{ℏ^{2}}}$

Así:

$ψ (x) = A e^{k x} + B e^{- k x}$ si $x > 0$

$ψ (x) = D e^{- k x} + F e^{k x}$

Como sabemos que $ψ (x)$ es continua entonces: $A$ y $D$ son cero para evitar que la función tienda a infinito. Además $ψ (0)$ es continúa entonces: $F = B$ .

Entonces se reduce a:

$ψ (x) = F e^{- k x}$ si $x > 0$

$ψ (x) = F e^{k x}$ si $x < 0$

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} d x - \frac{1}{a} \int_{- \infty}^{\infty} δ (x) ψ (x) d x = E \int_{- \infty}^{\infty} ψ (x) d x$

$\frac{- ℏ^{2}}{2 m} ({\frac{d ψ}{d x} |}_{0^{+}} - {\frac{d ψ}{d x} |}_{0^{-}}) - \frac{ψ (0)}{a} = \frac{2 E F}{k}$

$({ψ^{'} |}_{0^{+}} - {ψ^{'} |}_{0^{-}}) + \frac{2 m ψ (0)}{a ℏ^{2}} = \frac{4 m E F}{k ℏ^{2}}$

$({ψ^{'} |}_{0^{+}} - {ψ^{'} |}_{0^{-}}) = \frac{- 2 m ψ (0)}{a ℏ^{2}} + \frac{4 m E F}{k ℏ^{2}}$

$- 2 k F = \frac{- 2 m F}{a ℏ^{2}} + 2 k F$

$4 K = \frac{2 m}{a ℏ^{2}}$ entonces $k = \frac{m}{2 a ℏ^{2}}$

$k = \frac{m}{2 a ℏ^{2}}$

Así, tenemos que: $ψ = F e^{- k | x |}$

$\int_{- \infty}^{\infty} d x | F |^{2} e^{- 2 k | x |} = \int_{- \infty}^{0} d x | F |^{2} e^{2 k x} + \int_{0}^{\infty} d x | F |^{2} e^{- 2 k x}$

Hagamos un cambio de variable para la primera integral: Sea $x^{'} = - x$ y $d x^{'} = - d x$ Entonces nos quedan las integrales de la siguiente manera:

$\int_{\infty}^{0} - d x^{'} | F |^{2} e^{- 2 k x^{'}} + \int_{0}^{\infty} d x | F |^{2} e^{- 2 k x} = 2 \int_{0}^{\infty} d x | F |^{2} e^{- 2 k x}$

De esta manera, se tiene:

$2 | F |^{2} (\frac{{e^{- 2 k x} |}_{0}^{\infty}}{- 2 k}) = \frac{2 F^{2}}{2 k} = 1$

$k = \frac{m}{2 a ℏ^{2}}$

Podemos concluir que: $F^{2} = k$

Taller: Fundamentos de mecánica cuántica.

lunes, 22 de agosto de 2022

Ejercicio 17

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