Ejercicio 21

Ejercicio 21: Calcule la densidad de corriente de probabilidad para la función de onda

$\psi(r)=\frac{e^{ikr}}{r}$

donde $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, y examine su comportamiento para valores de $r$ muy grandes. Interprete su resultado. 

Por: Natalia Alvarez, Santiago Lastra y Catalina Villegas.

La densidad de corriente de probabilidad en tres dimensiones está dado por:

$\vec{j}=\frac{\hbar}{2 m i}\left(\psi^{*} \nabla \psi-\psi \nabla \psi^{*}\right)$

De acuerdo con la función de onda dada en el enunciado, se tiene que:

$\psi=\frac{e^{i \kappa r}}{r}$

$\psi^{*}=\frac{e^{-i \kappa r}}{r}$

Tomando el gradiente en coordenadas esféricas de $\psi$ y $\psi^{*}$ y teniendo en cuenta que las funciones solo tienen coordenada radial se obtiene:

$\nabla \psi=\partial _r \psi=\frac{i k e^{i k r} r-e^{i k r}}{r^{2}}=\frac{e^{i k r}}{r^{2}}(i k r-1)$

$\nabla \psi^{*}=\partial_{r} \psi^{*}=\frac{-i k r e^{-i k r}-e^{-i k}}{r^{2}}=\frac{-e^{-i k}}{r^{2}}(i k r+1)$

Reemplazando pues en la ecuación de la densidad de corriente de probabilidad ($\vec{j}$), se sigue:

$ \vec{j}=\frac{\hbar}{2 m i}\left[\frac{e^{-i k}}{r}\left(\frac{e^{i k r}}{r^{2}}(i k r-1)\right)-\frac{e^{i k r}}{r}\left(-\frac{e^{-i k r}}{r^{2}}(i k r+1)\right)\right]$

$\vec{j}=\frac{\hbar}{2 m i}\left[\frac{i k r-1}{r^{3}}+\frac{i k r+1}{r^{3}}\right]$

$\vec{j}=\frac{\hbar \kappa}{m r^{2}}$

De la forma de la densidad de corriente de probabilidad es evidente que esta decrece con la distancia.