Calcule la relación que deben satisfacer la anchura y profundidad de un pozo rectangular finito, como función de n, para que las probabilidades de hallar a la partícula fuera y dentro del pozo en el estadoe stacionario $\psi$ sean iguales.
Describimos el potencial V(x) como la función en las tres regiones:
$$V\left( x \right) = \begin{cases}
0,\quad x < \frac{-a}{2} \\
-V, \quad \frac{-a}{2} \le x \le \frac{a}{2} \\
0 , \quad x > \frac{a}{2}
\end{cases}$$
De la misma manera y garantizando que la función de onda no vaya a cero en los límites del pozo de potencial, describimos a $ \psi (x) $ en las regiones, definiendo la etiqueta 1 para la región a la izquierda del pozo, 2 para el pozo y 3 para la región a la derecha de este:
$$ \psi\left( x \right) = \begin{cases}
\psi_1\left( x \right), & \quad x< \frac{-a}{2} \\
\psi_2\left( x \right), & \quad \frac{-a}{2} \le x \le \frac{a}{2} \\
\psi_3\left( x \right), & \quad x> \frac{a}{2}
\end{cases} $$
Utilizamos la ecuación de Schrödinger para describir la dinámica de una partícula cuántica sometida al potencial en cuestión
$$\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{d x^2}\psi\left( x \right) + V(x) \psi = E \psi $$
Resolvemos para $\psi$ y V(x) en las regiones 1, 2 y 3 por separado.
En la región 2, encontramos la misma forma de la E.D, ya que V(x) es constante = $ V $.
$$-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{d x^2}\psi_1\left( x \right) = (E + V) \psi_1 $$
Tomando el caso E menor que $ V_0 $ obtenemos la relación
$$\kappa^2 = \frac{2m(V + E)}{\hbar^2} $$
Por lo tanto,
$$\frac{d^2}{d x^2} \psi_1\left(x \right) = \kappa^2 \psi_1\left(x \right) $$
y obtenemos las soluciones para la región 2
$$\psi_2\left(x \right) = A_{2}e^{i \kappa x}+ A'_{2}e^{-i \kappa x}$$
Resolvamos ahora de manera general para lsa regiones 1 y 3 con V = 0
$$-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{d x^2} \psi_1\left( x \right) = E \psi_1$$
$$\frac{d^2} {dx^2 }\psi_1 \left( x \right) = - {{2mE} \over \hbar^2 }\psi_1 \left( x\right)$$
Sustituyendo E en la ecuación anterior
$${{d^2 \psi_2 \left( x \right)} \over {dx^2 }} = - \rho^2 \psi_2 \left( x \right)$$
Sabemos que la solución para una E.D de esta forma es
$$\psi_1\left(x \right) = B_{1}e^{ \rho x}+ B'_{1}e^{- \rho x}$$
$$\psi_3\left(x \right) = B_{3}e^{ \rho x}+ B'_{3}e^{- \rho x}$$
sabemos que
$$\rho = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$$
$$\kappa=\frac{\sqrt{2m(E+V)}}{\hbar}$$
Luego de aplicar las condiciones de frontera y realizar álgebra sobre las constantes $B_{3} , B_{1} ,B'_{3} , B'_{1} $ para encontrar la regla de cuantización de la energía y aplicando el método gráfico de solución [véase Cohen-Tannoudji pg 77],
$$E_{n}=\frac{{n^{2}\pi^{2}}{\hbar^{2}}}{2ma^{2}} - V$$
De las relaciones de $\rho$ y $E_{n}$
$$ \rho_{n}^{2} = \frac{2mV}{\hbar^{2}} - \frac{n^{2}\pi^{2}}{a^{2}}$$
$$\kappa_{n}^{2} = \frac{n^{2}\pi^{2}}{a^{2}}$$
Por otro lado, las soluciones quedan de la forma
$$\psi\left( x \right) = \begin{cases}
\psi_1\left( x \right) = B_{1}e^{\rho x}, & \quad x< \frac{-a}{2} \\
\psi_2\left( x \right) = A_{2}e^{i\kappa x} + A'_{2}e^{-i\kappa x} , & \quad \frac{-a}{2} \le x \le \frac{a}{2} \\
\psi_3\left( x \right) = B'_{3}e^{-i\rho x}, & \quad x> \frac{a}{2}
\end{cases}$$
Dada la condición de normalización e igualando las probabilidades de encontrar la partícula adentro y afuera del pozo de potencial
$$ \int_{-\infty}^{-\frac{a}{2}} |\psi_1\left( x \right)|^{2}dx + \int_{\frac{a}{2}}^{\infty} |\psi_3\left( x \right)|^{2}dx = \frac{1}{2}$$
$$\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} |\psi_2\left( x \right)|^{2}dx = \frac{1}{2} $$
Desarrollando las integrales para $\psi_{1}$ y $\psi_{3}$:
$$(e^{-\rho a}-1)(|B_{1}|^{2}+|B_{3}|^{2}) = \rho$$
La integral para $\psi_{2}$ después de algunas operaciones algebráicas y aplicación de identidades trigonométricas da como resultado
$$(A_{2}^{2}+A'_{2}^{2})\sin(\kappa a) = \frac{\kappa}{2}-2aA_{2}A'_{2}$$
Reemplazando los valores de $\rho_{n}$ y $\kappa_{n}$ en las expresiones anteriores, es posible despejar $a$:
$$a = \sqrt{\frac{n\pi}{4A_{2}A'_{2}}}$$
Dado que $(e^{-\rho a}-1)(|B_{1}|^{2}+|B_{3}|^{2}) = \rho$ solo tiene solución en $\rho_{n} = 0$, por lo tanto:
$$V = \frac{\hbar^{2}}{m}(2n\pi)A_{2}A'_{2}$$
Juan Felipe Castello
Sebastián Montoya
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